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\documentclass[10pt]{article} 

\input{wang_preamble.tex}

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\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-2.5cm}   % This is your set screw

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%%%文档的题目、作者与日期
%%\author{王立庆（2019级数学与应用数学1班）}
%\author{学号 \underline{\hspace{4cm}}\,\,\,\, 姓名 \underline{\hspace{4cm}}  }
%%\title{高等代数第六章：向量空间}
%\title{统计软件考试解答 }
%%\date{\vspace{-3ex}}
%\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
%\date{2023年4月24日}

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\begin{document}

%\maketitle

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\begin{center}

{\Large\bf \H 上海立信会计金融学院期终考试卷 } \hspace{0.3cm} {\Large \underline{ A }卷 解答}

\vspace{0.3cm}

{\large \bf \H 2023 $\sim$ 2024 学年 第 二 学期 }

\vspace{0.3cm}

{\large \bf \H \underline{ \emph{2021-2022级数学与应用数学专业} } 《\underline{ \emph{实变函数} }》 课程代码：\underline{ 160690320 }  }

\end{center}

\vspace{0.3cm}

本次考试共10题，每题10分。

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\begin{enumerate}

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%\newpage 
\item %Problem 1
计算题。求下述集合 $E$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中的导集 $E'$, 开核 $\mathring{E}$, 闭包 $\overline{E}$ 与边界 $\partial E$. 
$$E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y=\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x},x\in\mathbb{R},x\neq 0\}. $$

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item  导集是聚点全体组成的集合，由图像可知，$E$ 上的点和 $y$ 轴的点都是 $E$ 的聚点，所以 $$E' = E\cup \{(0,y): -\infty\le y\le \infty\}.$$ 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 3分 \hspace{0.2cm}})
\item  $E$ 的开核是 $E$ 的内点全体组成的集合。本题 $E$ 中的点都不是 $\mathbb{R}^2$ 的内点。
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 3分 \hspace{0.2cm}})
\item  $E$ 的闭包是 $E$ 和 $E'$ 的并集。本题 $\overline{E}=E'$. 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})
\item  $E$ 的边界的任意邻域里既有属于 $E$ 的点，又有不属于 $E$ 的点。本题 $\partial E=E'$. 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})
\end{enumerate}

}

\vspace{0.1cm}

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%\newpage 
\item %Problem 2
证明康托尔集是一个完备集、疏朗集、测度为零、但是基数仍为 $\aleph$. 

填空题。将下述证明填充完整。

\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item 康托尔集 $K$ 是 $[0,1]$ 去掉开区间 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$, $(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$, $(\frac{7}{9}, \frac{8}{9})$, $\cdots$ 后剩下的部分，所以是 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}闭集\hspace{0.2cm} }} ) 。
\item  因为去掉的开区间中，任意两个开区间都没有公共端点，所以 $K$ 没有 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}孤立点\hspace{0.2cm} }} ) 。
\item  因为 $K$ 的任意点的任意邻域里，都有 $K$ 的其它点，所以 $K$ 的点都是 $K$ 的 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}聚点\hspace{0.2cm} }} ) 。
\item  因为 $K$ 是自密的闭集，所以 $K$ 是 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}完备集\hspace{0.2cm} }} ) 。
\item  康托尔集是一列闭集 $F_n$ 的 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}交集\hspace{0.2cm} }} ) ，其中 $F_1=[0,1]$, $F_2=[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]$, $\cdots$. 
\item  因为 $K$ 的任意点的任意领域内，都存在一个开区间 ({\color{red}\underline{\hspace{0.01cm}完全不属于 $K$\hspace{0.01cm} }} ) ，所以 $K$ 是 ({\color{red}\underline{\hspace{0.01cm}疏朗集\hspace{0.01cm} }})。
\item  因为去掉的开区间的总长度为1，所以康托尔集的测度为 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}零\hspace{0.2cm} }}) 。
\item  用三进制小数表示，康托尔集的每个点正好是不含有数字 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}1\hspace{0.2cm} }} ) 的那些小数。
\item  因为可以建立康托尔集与区间 $[0,1]$ 之间的一一对应，所以它们的 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}基数\hspace{0.2cm} }} ) 相等。

\end{enumerate}

{\color{red}解答：每个空格1分。

}


\vspace{0.1cm}

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%\newpage 
\item %Problem 3
设 $E=[a,b]$ 为直线上的闭区间。证明外测度 $m^*(E)=b-a$.

选择题。在下述证明的括号里选择适当的备选理由。

\begin{enumerate}[label={(\Alph*)}]
\item  有限覆盖区间的总长度不会更短。
\item  有界闭区间的任意个开区间的覆盖，总存在有限有开区间的子覆盖。
\item  外测度是开覆盖的总测度的下确界。
\item  外测度的定义。
\item  这里的 $\varepsilon$ 可以是任意正数。
\end{enumerate}


%证明：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item  
根据 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm} D \hspace{0.2cm} }} )，
对任意 $\varepsilon>0$, 取开区间 $(a-\frac{\varepsilon}{2}, b+\frac{\varepsilon}{2})$ 盖住 $E$, 所以 $m^*(E)\le b-a+\varepsilon$.   
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}
%\hfill\underline{\makebox[4cm]{\color{red}外测度的定义 }}

\item  
因为 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm} E \hspace{0.2cm} }} )，
所以 $m^*(E)\le b-a$.   
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}
%\hfill\underline{\makebox[4cm]{\color{red}1中的 $\varepsilon$ 可以是任意正数 }}

\item  
根据 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm} B \hspace{0.2cm} }} )，
对 $E$ 的任意开覆盖 $\{(\alpha_n,\beta_n)\}_{n=1}^{\infty}$, 存在有限子覆盖 $\{(\alpha_{n_k},\beta_{n_k})\}_{k=1}^{m}$.   
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}
%\hfill\underline{\makebox[4cm]{\color{red}闭区间的有限覆盖定理 }}

\item  
因为 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm} A \hspace{0.2cm} }} )，
可见 $b-a\le \sum\limits_{k=1}^{m} (\beta_{n_k} - \alpha_{n_k})$. 
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}
%\hfill\underline{\makebox[4cm]{\color{red}有限覆盖区间的总长度不会更短 }}

\item  
因为 ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm} C \hspace{0.2cm} }} )，
所以 $m^*(E)\ge b-a$. 
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}
%\hfill\underline{\makebox[4cm]{\color{red}外测度的开覆盖的总测度的下确界 }}

\item  
从 (2) 和 (5) 可知 $m^*(E)= b-a$.  
%\hfill \underline{\hspace{4cm}}

\end{enumerate}

{\color{red}解答：每个空格2分。

}

\vspace{0.1cm}

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%\newpage 
\item %Problem 4
设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个点集。设 $m^*(E)=0$, 证明 $E$ 是可测集。

填空题。将下述证明填充完整。

\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item  为证明 $E$ 是可测集，需要验证  ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}Caratheodory\hspace{0.2cm} }} )  条件。
\item  对任意子集 $T\subseteq \mathbb{R}^n$, 要验证  ({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}$m^*(T) = m^*(T\cap E) + m^*(T\cap E^c)$\hspace{0.2cm} }} ) . 
\item  根据外测度的非负性和({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}单调性\hspace{0.2cm} }} )，从 $T\cap E\subseteq E$ 可得 $0\le m^*(T\cap E)\le m^*(E)$. 
\item  根据题设条件 $m^*(E)=0$, 从(3)可得 $m^*(T\cap E)=0$. 
\item  根据外测度的({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}单调性\hspace{0.2cm} }} )，从 $T\cap E^c\subseteq T$ 可得 $m^*(T\cap E^c)\le m^*(T)$. 
\item  从(4)和(5)可得 $m^*(T\cap E) + m^*(T\cap E^c)\le m^*(T)$. 
\item  根据外测度的({\color{red}\underline{\hspace{0.2cm}次可数可加性\hspace{0.2cm} }} )，从 $T=(T\cap E)\cup (T\cap E^c)$ 可得 $m^*(T) \le m^*(T\cap E) + m^*(T\cap E^c)$. 
\item  从(6)和(7)可得(2)成立。

\end{enumerate}

{\color{red}解答：每个空格2分。

}

\vspace{0.1cm}

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%\newpage 
\item %Problem 5
设 $f(x)$ 是可测集 $E$ 上的非负可测函数，则存在简单函数序列 $\{\varphi_k(x)\}$, 使得对任意 $x\in E$, 
有 $$\varphi_1(x)\le \varphi_2(x)\le \cdots\le \varphi_k(x)\le \cdots, \,\,\mathrm{且}\,\, \lim\limits_{k\to\infty} \varphi_k(x)=f(x).$$    

对下述两个函数 $f(x)$, 找出一列符合上述结论的简单函数序列。
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item  对任意有理数 $x=\frac{m}{n}$, 其中 $m,n$ 是互素的整数，$n>0$, 定义 $f(x)=n$. 对任意无理数  $x$, 定义 $f(x)=0$. 
\item  $f(x)=x$, 定义在 $E=\mathbb{R}$ 上。
\end{enumerate}

{\color{red}解答：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item  
对每个正整数 $n$, 分母不超过 $n$ 的且绝对值也不超过 $n$ 的有理数只有有限个，
因此对这样的 $x=\frac{q}{p}$ 定义 $\varphi_n(x)=p$; 对无理数或绝对值大于 $n$ 的实数 $x$ 定义 $\varphi_n(x)=0$. 
则每个 $\varphi_n$ 是简单函数，且这列函数处处收敛于 $f(x)$. 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 5分 \hspace{0.2cm}})

\item  
本小题有误，因为题目开始假设 $f(x)$ 是非负可测函数，但是这里的 $f(x)=x$ 定义在整个实数轴上，有些地方会取负值。
修改定义域，设 $f(x)=x$ 定义在 $E= \mathbb{R}_{\ge 0} = [0,\infty)$ 上。

对每个正整数 $n$, 将区间 $[0,n)$ 等分成长度为 $\frac{1}{n}$ 的左闭右开的 $n^2$ 个小区间。
定义 $\varphi_n(x)$ 在每个小区间上的函数值为左端点的自变量值。
定义 $\varphi_n(x)$ 在剩余区间 $[n,\infty)$ 上的函数值为 $n$. 
则每个 $\varphi_n$ 是简单函数，且这列函数处处收敛于 $f(x)$. 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 5分 \hspace{0.2cm}})

\end{enumerate}

}

\vspace{0.1cm}

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%\newpage 
\item %Problem 6
%（里斯定理）
设可测集 $E$ 上的函数列 $\{f_n(x): n=1,2,\cdots\}$ 依测度收敛于 $f(x)$. 证明存在子列 $\{ f_{n_i}(x): i=1,2,\cdots\}$ 几乎处处收敛于 $f(x)$.

判断题。判断下述证明中的每句话是否正确。在编号旁边的括号里打 $\surd$ 或 $\times$.  

\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item  %1
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} $\surd$ \hspace{0.1cm} }} ) 
按依测度收敛定义，对任意 $\sigma>0$ 与 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $N$ 使得当 $n\ge N$ 时有 
$$m \left( E[|f_n-f|\ge \sigma] \right) <\varepsilon. $$

\item  %2
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm}  $\surd$  \hspace{0.1cm} }} ) 
对每个正整数 $k$, 取 $\sigma=\varepsilon=\frac{1}{2^k}$, 由(1)知存在 $N_k$ 使得 
$N_k>N_{k-1}$ 且 $$ m \left( E\left[ |f_{N_k}-f|\ge \frac{1}{2^k} \right] \right) < \frac{1}{2^k}. $$

\item  %3
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm}  $\surd$  \hspace{0.1cm} }} ) 
对每个正整数 $k$, 记集合 $E_k = E[|f_{N_k}-f|< \frac{1}{2^k}]$, 则由(2)可知 $m(E-E_k)<\frac{1}{2^k}$. 

\item  %4
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm}  $\times$  \hspace{0.1cm} }} ) 
记 $F_k = \bigcup\limits_{n=k}^{\infty}E_n =E_k\cup E_{k+1}\cup\cdots\cup E_n\cup\cdots $, 
则有递增序列 $F_1\subseteq F_2\subseteq \cdots \subseteq F_k\subseteq\cdots$.   

\item  %5
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm}  $\surd$  \hspace{0.1cm} }} ) 
由(3)与(4)可知，
对每个正整数 $K$, 对任意 $x\in F_K$, 
当 $k\ge K$ 时，有 $$ | f_{N_k}(x)-f(x)| < \frac{1}{2^k}. $$

\item  %6
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm}  $\surd$  \hspace{0.1cm} }} ) 
对任意 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $M$, 当 $k\ge M$ 时，有 $\frac{1}{2^k}<\varepsilon$. 

\item  %7
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm}  $\surd$  \hspace{0.1cm} }} ) 
由(5)与(6)可知，对每个正整数 $K$, 函数子序列 $\{ f_{N_k}(x) \}_{k=1}^\infty$ 关于 $x\in F_K$ 一致收敛于 $f$. 

\item  %8
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm}  $\times$  \hspace{0.1cm} }} ) 
记 $F=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}F_k $, 
由(7)可知 $\{ f_{N_k}(x) \}_{k=1}^\infty$ 关于 $x\in F$ 一致收敛于 $f$. 

\item  %9
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm}  $\surd$  \hspace{0.1cm} }} ) 
最后要证 $m(E-F)=0$. 由德摩根公式可知
$$E-F=E-\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}F_k = \bigcap\limits_{k=1}^{\infty}(E-F_k) 
= \bigcap\limits_{k=1}^{\infty}\left( E- \bigcap\limits_{n=k}^{\infty}E_n \right) 
= \bigcap\limits_{k=1}^{\infty} \bigcup\limits_{n=k}^{\infty}(E-E_n ).$$

\item  %10
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm}  $\times $  \hspace{0.1cm} }} ) 
由(9)与(3)可知，对任意正整数 $k$, 有 
$$m(E-F)\le m \left( \bigcup\limits_{n=k}^{\infty}(E-E_n ) \right)
= \sum \limits_{n=k}^{\infty} m (E-E_n )\le \sum \limits_{n=k}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^{k-1}}. 
$$ 

\item  %11
因为(10)中的 $k$ 可取任意正整数，所以 $m(E-F)=0$. 

\end{enumerate}

{\color{red}解答：每个空格1分。
%错误的句子改正为：
%
%(4) 记 $F_k = \bigcap\limits_{n=k}^{\infty}E_n =E_k\cap E_{k+1}\cap\cdots\cap E_n\cap\cdots $, 
%则有递增序列 $F_1\subseteq F_2\subseteq \cdots \subseteq F_k\subseteq\cdots$.   
%
%(8) 记 $F=\bigcup\limits_{k=1}^{\infty}F_k $, 
%由(7)可知 $\{ f_{N_k}(x) \}_{k=1}^\infty$ 关于 $x\in F$ 处处收敛于 $f$. 
%
%(10) 由(9)与(3)可知，对任意正整数 $k$, 有 
%$$m(E-F)\le m \left( \bigcup\limits_{n=k}^{\infty}(E-E_n ) \right)
%\le \sum \limits_{n=k}^{\infty} m (E-E_n )\le \sum \limits_{n=k}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1}{2^{k-1}}. 
%$$ 

}

\vspace{0.1cm}

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%\newpage 
\item %Problem 7
%（勒贝格定理）
设可测集 $E$ 的测度有限。设 $\{f_n(x)\}$ 是 $E$ 上的几乎处处有限的可测函数列，$f(x)$ 是 $E$ 上的几乎处处有限的函数，且 $\{f_n(x)\}$ 在 $E$ 上几乎处处收敛于 $f(x)$. 则 $\{f_n(x)\}$ 依测度收敛于 $f(x)$.

选择题。在下述证明的括号里选择适当的备选理由。
\begin{enumerate}[label={(\Alph*)}]
\item  依测度收敛的定义
\item  一致收敛的定义
\item  可测集 $E$ 的测度有限
\item  叶戈罗夫定理
\end{enumerate}

\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item  %1
根据 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} CD \hspace{0.1cm} }} )，
%因为可测集 $E$ 的测度有限，由叶戈罗夫定理，
对任意 $\varepsilon>0$, 存在 $E_\varepsilon\subseteq E$ 使得 $m(E-E_\varepsilon)<\varepsilon$ 且 $\{f_n\}$ 在 $E_\varepsilon$ 上一致收敛于 $f$. 

\item  %2
根据 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} B \hspace{0.1cm} }} )，
%根据一致收敛的定义，
对任意 $\sigma>0$, 存在 $N$ 使得 $n\ge N$ 时对任意 $x\in E_\varepsilon$ 有
$|f_n(x)-f(x)|<\sigma$. 

\item  %3
由(1)与(2)可知，对任意 $\sigma>0$, 任意 $\varepsilon>0$, 存在子集 $E_\varepsilon\subseteq E$, 存在 $N$, 使得 $n\ge N$ 时有
\begin{eqnarray*}
E[|f_n-f|\ge \sigma]  &\subseteq&  E-E_\varepsilon, \\ 
m\left( E[|f_n-f|\ge \sigma] \right)  &\le&  m(E-E_\varepsilon)<\varepsilon.  
\end{eqnarray*}

\item  %4
根据 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} A \hspace{0.1cm} }} )，
%根据依测度收敛的定义，
函数列 $\{f_n\}$ 依测度收敛于 $f$.

\end{enumerate}



{\color{red}解答：第一个空格4分，仅选D给2分。第二、三个空格每个3分。

}


\vspace{0.1cm}


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%\newpage 
\item %Problem 8
判断题。判断下述证明中的每句话是否正确。在编号旁边的括号里打 $\surd$ 或 $\times$.  

证明：若 $A,B$ 都是可测集，则 $A\cup B$ 也是可测集。

%证明：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item %1
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} $\surd$ \hspace{0.1cm} }} ) 
为了验证卡拉泰奥多里条件，设任意点集 $T$.  

\item %2
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} $\surd$ \hspace{0.1cm} }} ) 
因为 $A$ 可测，对点集 $T$ 使用卡氏条件，可得
$m^*(T) = m^*(T\cap A) + m^*(T\cap A^c). $ 

\item %3
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} $\times$ \hspace{0.1cm} }} ) 
因为 $B$ 可测，对点集 $T\cap A$ 使用卡氏条件，可得
 $$m^*(T\cap A^c) = m^*[(T\cap A^c)\cap B] + m^*[(T\cap A^c)\cap B^c]. $$

\item %4
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} $\surd$ \hspace{0.1cm} }} ) 
将 (3) 代入 (2) 得到 $m^*(T) = m^*(T\cap A) + m^*[(T\cap A^c)\cap B] + m^*[(T\cap A^c)\cap B^c]$.    

\item %5
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} $\times$ \hspace{0.1cm} }} ) 
因为 $A$ 可测，对点集 $T\cap (A\cup B)^c$ 使用卡氏条件，可得
\begin{eqnarray*}
m^*[T\cap (A\cup B)] 
&=& m^*[T\cap (A\cup B)\cap A] + m^*[T\cap (A\cup B)\cap A^c] \\ 
&=& m^*(T\cap A) + m^*[(T\cap A^c)\cap B]. 
\end{eqnarray*}

\item %6
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} $\surd$ \hspace{0.1cm} }} ) 
将 (5) 代入 (4), 可得  $m^*(T) = m^*[T\cap (A\cup B)] + m^*[T\cap (A\cup B)^c]. $

\item %7
 ({\color{red}\underline{\hspace{0.1cm} $\surd$ \hspace{0.1cm} }} ) 
因此我们验证了可测集的定义，得到  $A\cup B$ 是可测集。  

\end{enumerate}

{\color{red}解答：(1-3)每个空格2分，(4-7)每个空格1分。
%错误的句子改正为：
%
%(3) 因为 $B$ 可测，对点集 $T\cap A^c$ 使用卡氏条件，可得
% $$m^*(T\cap A^c) = m^*[(T\cap A^c)\cap B] + m^*[(T\cap A^c)\cap B^c]. $$
%
%(5) 因为 $A$ 可测，对点集 $T\cap (A\cup B)$ 使用卡氏条件，可得
%\begin{eqnarray*}
%m^*[T\cap (A\cup B)] 
%&=& m^*[T\cap (A\cup B)\cap A] + m^*[T\cap (A\cup B)\cap A^c] \\ 
%&=& m^*(T\cap A) + m^*[(T\cap A^c)\cap B]. 
%\end{eqnarray*}

}

\vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage 
\item %Problem 9
证明：
$$\lim\limits_{n\to\infty} \int_0^\infty \frac{dt}{\left( 1+\frac{t}{n} \right)^n } =1. $$

{\color{red}解答：
%证明：
\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]

\item  %1
对每个正整数 $n$, 记 $f_n(t) = \frac{1 }{\left( 1+\frac{t}{n} \right)^n }$, 定义在 $E=(0,\infty)$ 上。

\item  %2
对每个 $t\in E$, 极限 $\lim\limits_{n\to\infty} f_n(t) = \frac{1}{e^t}$. 代入积分可得 $\int_E\frac{1}{e^t}dt =1$. 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})

\item  %3
因此只需要找到一个控制函数，然后应用控制收敛定理就可以了。
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})

\item  %4
当 $0< t\le 1$ 时，对每个正整数 $n$, 有 $|f_n(t)|\le 1$, 而且 $\int_{(0,1]} dt = 1$. 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})

\item  %5
当 $t\ge 1$ 时，设 $n\ge 3$, 根据下述二项式展开，有 $|f_n(t)|\le \frac{3}{t^2}$, 而且计算可得 $\int_{[1,\infty)} \frac{3}{t^2}dt=3$.  
$$\left(1+\frac{t}{n} \right)^n = 1 + t + \frac{n(n-1)}{2} \frac{t^2}{n^2}+\cdots \ge 
\frac{n-1}{2n}t^2\ge \frac{1}{3}t^2. $$
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})

\item  %6
因此可以取函数
$$
F(t) = \left\{\begin{array}{ll}
1, & 0< t\le 1, \\ 
3t^{-2}, & t>1. 
\end{array}\right. 
$$
则 $|f_n(t)|\le F(t)$, 且 $F(t)$ 是勒贝格可积的。
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})

\end{enumerate}

}

\vspace{0.3cm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item  %Problem 10
设在康托尔集 $K\subseteq [0,1]$ 上定义函数 $f(x)=0$, 而在 $K$ 的余集中长为 $3^{-n}$ 的构成区间上定义为 
$n$, $(n=1,2,\cdots)$, 证明 $f(x)$ 可积，并求出积分值。

{\color{red}解答：

\begin{enumerate}[label={(\arabic*)}]
\item  在 $K$ 的余集中长为 $3^{-1}$ 的区间有1个，记为 $E_1$, 其上的函数值为 1. 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})

\item  在 $K$ 的余集中长为 $3^{-2}$ 的区间有2个，其并集记为 $E_2$, 其上的函数值为 2. 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})
\item  在 $K$ 的余集中长为 $3^{-3}$ 的区间有4个，其并集记为 $E_3$, 其上的函数值为 3. 
\item  在 $K$ 的余集中长为 $3^{-4}$ 的区间有8个，其并集记为 $E_4$, 其上的函数值为 4. 
\item  在 $K$ 的余集中长为 $3^{-n}$ 的区间有$2^{n-1}$个，其并集记为 $E_n$, 其上的函数值为 $n$. 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})

\item  因此函数 $f(x)$ 的积分为 
$A=\int_{[0,1]} f(x)dx = \sum\limits_{n=1}^{\infty} m(E_n)\cdot n = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n-1}}{3^n}n. $
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})
\item  乘以 3 可得 $3A=1+2\left(\frac{2}{3}\right) +3\left(\frac{2}{3}\right)^2 + 4\left(\frac{2}{3}\right)^3+\cdots .$
\item  根据 $1+x+x^2+x^3+\cdots = \frac{1}{1-x}$, 求导得 $1+2x+3x^2+\cdots = \frac{1}{(1-x)^2}$. 
\item  代入 $x=\frac{2}{3}$ 可得 $3A=\frac{1}{(1-\frac{2}{3})^2}=9$, 所以 $A=3$. 
\dotfill (\underline{\hspace{0.2cm} 2分 \hspace{0.2cm}})

\end{enumerate}

}


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\end{enumerate}

\end{document}





